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最近发现的这个「完美五边形」究竟厉害在什么地方?

站酷海洛创意

如何看待美国数学家发现可无缝密铺平面的新五边形?

问题补充说明:

据外媒报道,美国华盛顿大学研究团队近日发现了一种新的不规则五边形,相互组合后可完全铺满平面,不会出现重迭或有任何空隙,是全球第 15 种能做到此效果的五边形。而距上次发现类似效果的五边形已时隔 30 年,这项发现相当于在数学领域中寻获了新原子粒子。

卡西·曼夫妇发现的新五边形。图中所有的五边形都是全等的,作图者给五边形填上三种颜色,表明它们以每三个组成一组方式镶嵌满了整个平面。

  报道称,该研究团队由华盛顿大学数学系副教授卡西·曼、他的妻子珍妮弗及学生冯德劳组成,卡西·曼夫妇专门研究数学平铺及结点理论,一直致力寻找“完美五边形”。

迄今发现的 15 种可镶嵌五边形

  报道指出,两人最终运用冯德劳设计的计算机程序,找出完美镶嵌的五边形。卡西·曼称,这次发现有助人们彻底理解不同形状如何密铺平面。

陆zz,不断丰富自我

当国内出现这种新闻的时候,习惯性要先找到外媒的报道。

(注:图多较杀流量)

看来基本属实,应该是科学而正确的报道。该发现由来自 University of Washington Bothell 的副教授 Casey Mann, 其妻子 Jennifer McLoud, 与一位在读本科生 David Von Derau 共同得到,采用的是数学上理论分析再加以计算机程序计算的方式。

上图覆盖即为第 15 种新的覆盖方式。其用了同一种不规则的五边形的三种摆放形状,五边形形状如下:

既然题目是如何看待,那么下面应有一大堆历史与科普,时间紧直接翻到最后看结论也无妨。

大概只需要小学初中的一点平面几何知识即可理解大多数内容

(图片来自网络或用 win8 自带画图软件画制,侵删)

本人知识水平肯定有限,所以答案中如果有什么谬误,请随时指出,方便我学习改正

利益相关:某不知名数学系在读学生

 

一.什么是平面密铺理论

平面密铺,直观来说就是用不同的几何形状完全覆盖一个二维平面,而且图形没有重叠。

或者实际上来看,就是铺瓷砖…

(利用正六边形,正三角形,正方形的密铺)

(利用两种正方形的密铺)

(利用正八边形和正方形的密铺)

密铺理论的应用颇多。在艺术中,设计建筑的各种图案,在堆放物体时,如何最大利用空间节省成本(常见于三维密铺理论,对于层形对象则需要平面密铺理论),在晶体学中,如何优化晶体结构等等情形中,都有密铺理论的身影。

平面密铺理论以其几何的优美和对称性的利用而知名。如果对几何的美丽感兴趣的,可以看一看这个视频

探秘伊斯兰文化的复杂几何图形

这个理论非常古老,从古希腊就有研究,不是看上去那样肤浅。如给定一组图形,其能否铺满平面,都是一个值得研究的问题。

数学家在讨论平面密铺时,有严谨的分类和定义,如周期性密铺(使用的图案是重复的),非周期性密铺,单面密铺(所有使用的图形都同胚于一个圆盘),单密铺(只使用一种全等的图案),正规密铺(使用高度对称的同种正多边形的单密铺)。对于密铺图形的对称性研究,还引入了 Wallpaper groups(共 17 种),用群论的现代方法来处理问题。

为了防止跑题,我们只限于讨论周期性密铺中的简单的多边形单密铺

如果对一般的理论有兴趣,或者想见识一下数学上对凸规则多边形密铺的分类,可以去 wiki 上查询

Euclidean tilings of convex regular polygons

无特殊说明,下面的密铺均指单密铺。

二.规则的凸多边形的单密铺

我们先从三角形(非退化)说起,

1.任何三角形都可以密铺整个平面。

证明:我们把 2 个三角形拼成一个平行四边形,然后将平行四边形上下叠放,从而密铺整个平面。

2.任何凸四边形(包括正方形,矩形)都可以密铺整个平面。

证明:

我们稍微思考一下,刚才三角形的方法只能推广到平行四边形。

注意到四边形内角和为 360,所以我们可以先把四个四边形对应不同的角拼在一起,使其拼满一个 360 度。

如上图,不同颜色的角被集中到中央,接下来就是用四边形按照同样的不同四角补成 360 度的方式将周围补全。

然后人们就自然想到,能否用五边形补全?出于自然的考虑,人们想到了正五边形。可是事与愿违:

3.正五边形不能密铺平面。

证明:首先,假设能够密铺平面,考虑任何一个正五边形,以下情况不会出现:

否则在如图边与顶点交汇处的一部分,不能放入另一个正五边形铺满。

所以如果能铺满,应该是边对边,点对点,但是我们来思考一下某一个顶点,

?号处依假设还能放入若干个正五边形密铺,和 2 类似,应该也是围成 360 度角,但?处角度为

360-108-108=144 度,铺一个还有余,两个就放不下,导出了矛盾。

那我们来看看正 6 边形,其密铺方式大多数人都能直接想到

4.正六边形能密铺平面

证明:显然。

当我们寻找其他的正 n 边形时,我们不妨用简单的数学来思考一下前面的结论。正五边形不能密铺平面是因为其内角整数倍不能形成 360 度.对于一般的正 n 边形,其内角和为(n-2)*180 度。

一个内角的大小为

度。若能密铺平面,其内角度数某整数倍为 360 度,即整除 360,得,从而,即 n-2 被 4 整除,所以 n-2=1,2,4.n=3,4,6

于是结合前面的分析有

5. 正 n 边形中,只有正三角形,正方形,正 6 边形能密铺平面,其余正 n 边形不能做到。

这就是为啥只有这几种常见的瓷砖了……

看来,对于正多边形单密铺问题,我们已经有了完美的答案

然而,不规则的密铺能否实现?数学家于是又着手于这个问题的解决,谁知道是一个大坑…

三.我们为什么关注不规则五边形?

虽然这个多边形平面单密铺问题从公元前就已经出现,可是其的圆满解决方案迟迟没有出现。

这一等,就等到 1963 年。

1963 年是什么时候呢?相对论已经成熟的应用于生活,计算机技术已经开始发展,希尔伯特问题提出已经过去几十年,数学在泛函分析,数论,PDE,拓扑学,ODE 极限环理论等等分支上已经取得了很多成就,然而这个多边形单密铺问题还在继续等待着人类去挖掘。

摘自

http://freethoughtblogs.com/singham/2015/08/16/a-new-pentagon-tile-that-covers-the-plane/

“It was proved in 1963 that there are exactly three types of convex hexagon that tile the plane. And no convex heptagon, octagon, or anything else-gon tiles the plane.”
It turns out that pentagons are the only shape for which the number that can tile a plane is as yet unknown. Not all pentagons can tile the plane, and the familiar regular symmetric pentagon is an example of one that does not.

在 1963,数学家证明只有三种其他不同的六边形密铺,我查了查如下:

(最下方为三种方式的不同结构基元(lattice),转自Hexagonal tiling

其中还给出 13 种拓扑等价的六边形密铺方式;六边形密铺较五边形密铺在自然界中常见,其应用也更多)

然后证明了任何凸 n 边形(

)都没有合适的单密铺方式。

因此,你也猜到了……

只要解决了不规则的五边形密铺问题,就宣告了多边形单密铺问题的完美解决!!

这就是为什么新五边形的发现,让一些数学家觉得很激动,乃至上了新闻被普通人看见。

于是,数学家的目光又转向了五边形……

(然而这个坑也特别大…)

四.五边形密铺(Pentagonal tiling)

进入正题…

让我们开始我们对五边形的探索之路吧!

1,2,3,4,5(Reinhardt 1918)

——独特的几何学家

对于不规则五边形密铺的研究,要从德国数学家 Karl Reinhardt 说起…

我们都知道 1900 年,Hilbert 在巴黎数学家大会上提出了 23 个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究,这就是著名的"希尔伯特 23 个问题"。

来来来,让我们看看第 18 个问题:

如何用全等多面体构造空间?

由德国数学家比勃马赫(1910)、莱因哈特(1928)作出部分解决。

莱因哈特是谁?就是我们要谈到的这位:

Karl Reinhart(1895-1941)

(简单的传记见Reinhardt biography.)

Karl Reinhart 是一位有着独特想象力的几何学家,性格幽默,勇敢,大胆。他酷爱几何研究,对多边形的研究更是非常了得。

他在 University of Marburg 上过一年大学学习数学,之后一战便爆发…战争期间,他在中学担任过老师,也做著名数学家David Hilbert的助教,从 Hilbert 那里学到了很多知识,也正是 Hilbert 激励了他继续研究他所热爱的数学。(Hilbert 是最喜欢的数学家之一,颇有长者风范)

其贡献有解决了极大面积 n 边形(所有边长均为 1 的多边形中面积最大的多边形)问题的特殊情况,提出了Smoothed octagon(可能是具有最小背包密度即打包整理最浪费空间的平面对称图形)。

其还有一个重要的发现是:

凭借出色的平面几何功底与直觉,他发现了前 5 种不同的五边形密铺方式,开启了一个新的研究方向。它们分别是:

1:利用两个五边形拼成了一个类似平行四边形的图案,然后类比我们之前的平行四边形密铺方式

2:类比之前的一般四边形密铺方式,形成一个可拼接的结构

3:将正六边形密铺方式恰当分割即可

4:类似 2

5:这个很难想到,大概是借鉴了花瓣的形成方式和六边形密铺方式,将正六边形的各边改成棱角状然后划分成 6 个五边形

……

当你以为五边形研究会一帆风顺的进行下去时,又过了毫无新发现的 50 年……甚至大家都产生了其实就只有这 5 种的感觉…

……

……

……

6,7,8 (Kershner 1968

——科学分析给出新方式

这次由 Kershners 在美国数学月刊上发的一篇详细分析的文献给出,有理有据使人信服

On Paving the Plane on JSTOR

不得不说这 3 种五边形密铺方式非常奇怪,因而有一定难度。

6:像是平行四边形密铺的另一种变体

7,8:已经不能三言两语说清其中的结构了…

然后这位Kershner想必也是费了一番功夫,用一大段论证了只可能存在这 8 种五边形平面密铺方式,然后事实大家都知道了…

10 (James 1975)

——站在Kershner 的肩膀上

在阅读了上面这位老兄的文章后,1975 年 Richard E. James III 经过思考找到了又一种…

所谓喜闻乐见的自打脸:

10:这个挺像先强行用拼成的五边形构成一个类似的四边形去铺平面,然后用同一种五边形去填补留下的缝隙,然后通过计算角度解方程使其能填满。

等会,你可能会有疑问,为什么是 10 不是 9,9 难道被谁吃了么?

那是因为突然出现了一位神乎其神的研究者…在默默无闻地研究这个问题,

9,11,12,13 (Marjorie Rice 1975-1977)

——家庭主妇也爱数学

马乔里·赖斯(Marjorie Rice)当时是 50 多岁的家庭主妇,家住在 California.她从《科学美国人》杂志中看到了James 的文章,感觉很有趣…

Rice 觉得在家闲着也是没有事做,不如无聊研究看看吧,于是她成为了一名平面密铺理论的业余的数学家…于是,她开始培养其自己的业余爱好:

只受过高中教育,没关系,有大把空余时间涂涂画画。

有些符号不理解,没关系,那就创造自己的符号系统与研究方法。

于是…至 1977 前,她发现了五十多种多边形密铺方式(不止是单密铺),包括 4 种新的五边形密铺方式…

什么?你觉得她是民科?

数学家可不这么认为…

经过教授 Doris Schattschneider验证了其独特的数学符号体系后,向数学家们表明了这一些发现的正确性……

我们来看看翻译后版本:

这确定是一个人想出来的么……这个结构基元排列感觉略复杂,都是 8 个五边形拼出来的图形,大概就是先拼接再组合,形成 4 种不同的模式

和之前的相比,更加古怪奇怪了。

所以还是不自找麻烦去简单分析别人 2 年得到的成果了,这绝对不是简单的涂涂画画就可以得到的…

所以美国家庭主妇闲下来真可怕…恐怕 James 和 kershner 看见后内心也是复杂无比的心情……

14 (Rolf Stein 1985)

——21 世纪前最后一次新发现

看起来是三个八边形互相扣在一起形成一个结构基元(lattice),然后结构基元(lattice)之间互相扣着,绿线的划分是为了恰好得到了六个全等的五边形,具体角度应该是由方程解出。

分析了这么多,我们发现了结构基元(lattice)在密铺理论的重要性,可以先确定结构基元,再去试图划分得到所需的五边形,具体角度和边长可以再列方程解出。

还有仅借助人力枚举法不太可取,进度太慢。也正如我所说的这样,1985 到上个月,都没有新的密铺方式发现。

15 Mann/McLoud/Von Derau (2015)

——计算机大法好

借助计算机的枚举,前一阵子数学家得到了最新的第 15 种,为什么说这第 15 种很重要,我想原因也在于其结构的复杂性和将计算机程序引入枚举工作的新思想。

12 个五边形凑成的结构基元(lattice)…

……

……

……

为什么没有人能提前发现这种新的密铺方式了的原因,大概也能从图中看出。人类有限的枚举和计算能力,限制了进一步发现更多密铺方式.

感谢数学家和计算机的辛勤工作,让我们看到了这个美丽的图形。

至于其构成原理,大家可以自己思考一下,具体可能是还要等他们的文献发布,来解释计算机程序的原理。

计算机大法好!

五.一些后记和它的应用

这个回答我累计写了近二十个小时,终于算是成形了。

在此对那些质疑钱又花到哪里去了或者觉得没什么用的人,只能说科学研究并不是为了取悦大众,而是为了得到好的结果和进一步使科技进步。

不少人可能觉得这个没有什么用,的确,数学理论是很难直接第一时间投入到应用当中去,但是我们发现或得到的那些数学理论恰恰是推动若干年后工程界和科学界发展的要素之一。数学已经不可逆地融入了我们的生活之中,我们应该做到理解支持科学研究,如果不能也不要随意嘲讽科研者或者始终坚持一份科学研究无用论。这种就是一种典型的反智主义。

如果觉得这个回答挺简单的,可以尝试继续找出新的密铺方式,这样说不定可以推动这个问题进一步发展。

评论区有人询问了拓扑等价的问题,至于如何确定各种五边形密铺方式的不同,还有如何分类它们,这些需要的就不仅仅是平面几何知识了。我们知道密铺方式往往是有对称性的,这就不可避免的引入了群论。对于密铺方式的分类,可以使用壁纸群(wallpaper group)分类,进一步有兴趣的可以参考这个简单介绍壁纸群的 wiki 地址

Wallpaper group

至于这个究竟有什么实际应用,来看两段话,摘自

Scientists Discover 15th Convex Pentagon Able To Tile A Plane : NPR

(一段关于这个发现的访谈,可以听一听)

REHMEYER:
Well, it's always hard to predict exactly what the applications will be, though I think one prediction is safe, which is that artists are likely to make use of this pattern. There's a very rich field of mathematical art. There are also likely to be more practical applications. Crystals form in these patterns. They make use of the patterns that are forced by geometry. Viruses also form - the structure of viruses are formed in similar ways. There may well be uses of it in engineering, in creating materials with novel properties that have molecular building blocks along these lines. But we will just have to wait and find out what clever scientists do with it.

Finally, a new pentagon shape that tiles in a plane

Of course, there are practical uses to finding tiling surfaces, from biochemistry to structural design.

“Many structures that we see in nature, from crystals to viruses, are comprised of building blocks that are forced by geometry and other dynamics to fit together to form the larger scale structure,” he added.

“I am too cautious to make predictions about whether or not more pentagon types will be found, but we have found no evidence preventing more from being found and are hopeful that we will see a few more. As we continue our computerized enumerations, we also hope to gather enough data to start making specific predictions that can be tested.”

可见这个目前还没有实际应用,我们期待科学家们的进一步发现,说不定能够有所突破。

成果以后可能应用于:

1.生物化学,结构分析,晶体学。比如研究细胞,病毒或者晶体的排列方式等等

2.铺瓷砖(也是国内外网友调侃最多的)

3.工程的结构设计还有建模

4.数学理论分支的进一步发展等等。(如果五边形单密铺问题被完全解决,则意味着多边形单密铺问题的完全解决,从而可以推进对 Hilbert 第 18 问题的研究

不过我觉得,美丽的图形覆盖和其简单又复杂的结论,本来就是数学上的一种美丽,至于其实际应用并不是最值得在意的(因为我们不知道,也无法知道)。

因为每一次数学上的新发现,都是人类心智的荣耀。