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最早在金字塔内发现的数字 142857,到底有多神奇?

图片:《费马的房间》

142857 这个数为什么这么神秘呢?还有其他的吗?

曾加,把诗意的理性献给你

(这是一个初中数学水平就可以阅读的答案 ^_^)

142857,又称 “走马灯数”,是世界上最著名的几个数之一 ( 也许仅次于 ),也许很多人很小的时候,就会在趣味数学里看到这个数。而这个神秘的数,最早发现于埃及的金字塔内。

为什么说这个数是 走马灯数 呢?

这是因为,它 2~6 倍,都恰好是这六个数字的重新排列

:285714,428571,571428,714285,857142……

并且是 按次序 排列的哦,如下图所示,是不是很像 “走马灯” 呢?

这样的“走马灯” 性质实在是让人啧啧称奇。于是我们开始好奇,142857 为什么会具有这样神奇的性质? 是否还会有其他数具有这样的性质呢?

先回答第一个问题。

数学系的人也许会高冷地回答你:因为 10 是模 7 的一个原根

但这个回答,一定是令 99 % 的人懵逼的。

大部分普通人恐怕会问:“原根” 是什么?

当然,也许还有些连初中数学都还给老师的人,会问:“模” 是什么,哈?

这个问题,其实正是让数学小白们叩开 初等数论 大门的伟大机会啊!

我相信,要完整地理解这个问题的来龙去脉,对于初中数学水平的人,大概也就需要半个小时而已~

当然,需要 3 个很简单的前提条件:

  1. 你知道 质数(素数)的概念:只能被 1 和自身整除的数;也知道 互质 的含义(最大公约数为1);
  2. 你会 竖式计算
  3. 你已经知道:142857*7=999999;

那么,下面我们开始吧~

一、竖式计算的奥秘

既然你已经知道了 142857*7=999999,那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节。毕竟 1000000 除以 7 余 1 嘛!竖式计算告诉我们,产生循环几乎是显然的:

仔细观察一下竖式计算,你会发现一个很有趣的现象:

前 6 次相减,余数分别 3、2、6、4、5、1,恰好遍历了比 7 小的 1~6,这就意味着,下一个余数无论是几,都必然会和前面的重复,从而必须产生循环。

这个现象揭示了一个简单的定理:

定理 1.1:1/n 的小数展开,其循环节长度不超过 n-1。

如果循环节恰好为 n-1 ,在竖式计算的每一步中,余数一定遍历了 1,2,…,n-1,那么显然,1/n, 2/n,…, (n-1)/n 的竖式计算,一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来,循环节会形成 “走马灯” 的效果。

反之,对于任意一个“走马灯数”,我们可以把它当做循环小数的循环节,而循环小数必然可以表示成分数 k/n,若循环节小于 n-1,那么余数必然不能遍历 1,2,…,n-1,那么 “走马灯” 的效果则不会出现。于是我们得到了另一个定理:

定理 1.2:对每一个 “走马灯数” ,都存在自然数 n,走马灯数为 1/n 的小数展开后的循环节,且这个循环节恰好有 n-1 位。

接下来,我们需要寻找满足条件的 n,初等数论 的大门将缓缓打开。

二、费马不只发现了“费马大定理”

在这一部分,我们需要接触 3 个初等数论的基础概念:

  1. 同余:若 a 除以 n 和 b 除以 n 的余数相同,则称 a 和 b 对模 n 同余,记作 (mod n);
  2. 欧拉函数:小于 n 的正整数中与 n 互质的数的数目,记为
  3. 剩余系:对全体自然数,按照除以 n 的余数可以分成 n 类,每一类构成的集合叫做 剩余类;在每一个剩余类中取一个数,构成的集合叫做 完全剩余系;在每一个和 n 互质的剩余类中取一个数,构成的集合叫 简化剩余系。易见,一个模 n 的简化剩余系中有 个元素。

关于欧拉函数,举 2 个例子:

  1. 比如 6,在 1、2、3、4、5 中,只有 1 和 5 是和 6 互质的,所以 ;
  2. 对于任意质数 p,显然 1~ p-1 都和其互质,因此

于是我们很快可以得到一个定理:

定理 2.1(费马-欧拉定理):若 a 和 m 互质,则

 (mod m)

这是第一个需要稍微思考一下的定理。但证明也并不复杂:

在 1~ m-1 中取一个模 m 的简化剩余系,从小到大排列为

,任意两个数之间的差都小于 m-1,考虑每个数的 a 倍,由于 a 和 m 互质,显然有:

 (mod m)

于是

也构成了模 m 的简化剩余系。

则有:

(mod m)

那么:

和 m 互质,所以 ,证毕!

特别地,当 m 为质数的时候,结合欧拉函数的定义,我们得到了费马小定理:

定理 2.2(费马小定理):若 p 为质数,且 a 和 p 互质,则 (mod p)

费马大定理是我们耳熟能详的,但其实费马小定理也是初等数论中比较基本的定理哦!

三、原根,以及 A001913

在费马-欧拉定理中,取 a=10,当 m 与 10 互质的时候,才有:

(mod m),从而形成 纯循环小数。联想到竖式计算:

在 1/m 的计算过程中, 一定是循环节(但不一定是最短的),显然,当且仅当 m 为质数的时候,才可能有。满足 “走马灯” 性质 m 至少是质数,且与 10 互质。

但 m 是质数并不是充分条件,如 m=3,,而 (mod 3)。

于是原根的定义便呼之欲出了设 m 是正整数,a 是整数,若 a 模 m 的阶(使得 (mod m)的最小正整数 k)等于 ,则称 a 为模 m 的一个原根

因此我们得到了最终的结果:

定理3: 对每一个 “走马灯数”,必然存在自然数p,走马灯数为 1/p 小数展开后的循环节,且 p 的充要条件是: ① p 是质数; ② p 与 10 互质; ③ 10 是模 p 的一个原根。

有一个收录了各种数列的网站叫 OEIS,它恰好收录了走马灯数相关的 p: A001913

与此同时,还给出了 “走马灯数” 数列:A180340

142857, 588235294117647, 52631578947368421, 434782608695652173913, 344827586206896551724137931, 212765957446808510638297872340425531914893617, 169491525423728813559322033898305084745762711864406779661

这便是第二个问题的答案了。

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