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发现一个神奇的数:「37」

图片:酱紫君 / 知乎

按计算器 1-9 的数字排列,

从任意数字开始以顺时针或逆时针的顺序依次按出一个六位数构成矩形,

为什么所有按出的 6 位数都能被 37 整除?

为什么九宫格顺或逆时针,任选 6 个数字都能被 37 整除?

酱紫君,我睡觉了...别叫醒我...

有时候我觉得 Zhihuer 观察力都是神级的,想我当年也是计算器玩坏好几个的人,怎么就没发现这个呢……

作为这个月以来唯一不是作业 & 钓鱼的提问, 我就认真回答吧。

这个问题非常有趣。

我会给出我完整的思路,而不单单是解答。


表面原因

37 是个很有趣的数字。

首先

,这就给出了一种判断 37 倍数的方法。

一个数三位三位反复累加,如果最终的三位数能被 37 整除那么原来的数字能被 37 整除。

是不是和

的倍数的判断有点像?正常,

嘛。

引证一
Trivial !!!

其次能被 37 整除的

位数都有循环整除性。

引证二: 以三位数为例

设三位数为 ,用表达式表示为:
因为是 37 的倍数,则可表示为:
这个数乘 11 得 ,它仍旧是 37 的倍数

另一方面三位数 可表示为:
这个数与 的和为:

因此 也是 37 的倍数, 同理 也是 37 的倍数。
同理可证 位数都有这种循环整除性。

整除 3,6,9 的时候这个性质也能叫全排整除性……

其他就没有了,只能循环整除了。


实际原因

以上是我本来就知道的, 虽然这么解释有点怪怪的

怎么计算器的排列正好就能排出这么个数呢?

但是当我真的打开计算器开始玩之后我发现上面被表面现象所迷惑了。

我们来透过现象看本质。

按照题主的说法。

如图红线选择三个数字,896,后面可以接 325 或者 547。

可以验证,这两个都能被 37 整除

然后我突然想到,选 214 会怎么样?

也可以?那 658 呢?也可以?!

そうですね,我思路可能跑偏了……


用我之前说的那种判别法试试:

都是 111 的倍数?

,自然也是 37 的倍数。

说的是呢,我思路确实跑偏了。。。

于是整除性质与

相似。

考虑这样一个数阵:

这个数字是:

它的三分数位和是:

哦!原来如此……

如果前三个数是

那后三个数就选

于是六位数

必定能被 3,9,27,37,111 整除。

且有循环整除性!


等等,还没结束, 这和手机的键盘排列有关吗? 随便换一个数阵都成立吗?

考虑这样两个数字,957 486, 301 153。

无法整除

,为什么呢?

因为原来的键盘排列是等差数阵啊

你想想 0 的正确位置是哪?

3 下面!


一个数阵如果能保持平移不变性,旋转不变性,镜像不变性,那才可以有这个神奇的现象!

显然等差数阵满足这个条件。

当然有些循环数阵对于某些模式也满足条件。

练习题:
考虑一个数前六位是 133557,你能写出后六位使得这个 12 位数能被 37 整除吗?

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