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1*0=0 是因为 0*X=0,还是 1*X=X?

图片:编辑也好奇

1×0=0 是因为 0 乘以任何数字都等于 0,还是因为 1 乘任何数字都等于那个数?

光喻,00后/机器学习/因果推断

在一个环里,1 是乘法单位元,0 是加法单位元。假设这个环不是零环,那么 1 和 0 就是两个不同的元素。

因为环在乘法下是幺半群,所以对于任意的元素 a,a×1=a=1×a是环的公理。由此可得第一种证明思路:取 a=0,则 0×1 = 1×0 = 0。

第二种证明思路依赖于a×0=0=0×a这个性质,该性质可以直接由环的公理(包括 a×1=a=1×a)推导得出:

a×0 = a×0 + 0 = a×0 + (a + (-a)) = (a×0 + a) + (-a) = (a×0 + a×1) + (-a) = a×(0+1) + (-a) = a×1 + (-a) = a + (-a) = 0

0×a = 0×a + 0 = 0×a + (a + (-a)) = (0×a + a) + (-a) = (0×a + 1×a) + (-a) = (0+1)×a + (-a) = 1×a + (-a) = a + (-a) = 0 = a×0

值得注意的是,这种证明只需要用到环的公理,不需要假设乘法交换律或乘法的逆运算。

于是,取 a=1,则 0×1 = 1×0 = 0。

综上所述,两种思路都可以证明,但第一种直接用公理,步骤略少一些。

如果这种证明无法解决题主的疑惑,那么我就再提供一个因果关系角度的分析。「E 是因为 C1,还是 C2?」这样的问句往往在询问实际原因(actual cause)。例如,「已知以下三种状况同时存在,车祸的原因到底是司机酒驾,还是雨天路滑,还是刹车故障?」题主的问题,在哲学里被称为 symmetric overdetermination:列出的任何一个因都能造成这个果。

寻找实际原因的过程,通常也是寻找责任(道德责任或法律责任)的过程。但是,我个人不推荐用因果关系的思维解决数学问题。因为,数学中的证明(proof)、蕴含(entailment)、实质条件(material conditional)都是有良定义的概念,学过数理逻辑就可以理解。可是,现实中的因果关系并没有一个被普遍接受的良定义

在学习因果关系的过程中,我时常会提醒自己:能用严谨的数学语言描述的问题,就不必要加入「因果」这样模棱两可的词汇。例如,identifiability of linear non-Gaussian additive noise model 尽管被称为一个「因果识别」问题,它的实际定义并不包含任何「因果」的成分,用数学就能完美描述。

所以,我先前把题主问题中的「因为」转化成了「可证明」进行论述:

  1. 从公理「1 乘任何数字都等于那个数」,我们可以证出「1×0=0」;
  2. 从性质「0 乘以任何数字都等于 0」,我们也可以证出「1×0=0」;
  3. 从公理「1 乘任何数字都等于那个数」以及环的一些其他公理,我们可以证出性质「0 乘以任何数字都等于 0」。

补充:在半环里,「0 乘以任何数字都等于 0」和「1 乘任何数字都等于那个数」都是公理

知乎用户,https://geelaw.blog/

我觉得产生这个疑问是因为题主混淆了“因为”的用法。

> 因为 1 乘任何数等于另一个数,所以 1x0=0。

这是一个使用命题的过程。题主问题表达的是一种关联事件的感觉,类似于“我带伞,因为下雨了”。

在“我带伞,因为下雨了”中,并不是说“下雨了”可以推出“人带伞”(因为人可以忘带或者懒得带),这句话是在表明带伞的目的,或者说从 circumstance 的角度归因“带伞”。

而 1x0=0 是没有这种“目的”的,它的成立不是为了 demonstrate 那两个命题,而是它就是成立。

在数学学习中更类似“带伞”的例子是:想要证明 a,又已经知道 b 推出 a,于是解答的前半部分证明 b,并利用 b 推出 a 得到结论。

在形式化证明中说“因为 b 所以 a”,是在使用“b 推出 a”这个命题。

在讲解思路的时候说“因为 b 推出 a,所以考虑去证明 b,进而得到结论”,或者更类似题目描述一些,“题目要证明的 a 是因为 b 而成立”,这是在解释去寻求对 b 的证明的动机,在归因这样思考的目的,并不是在说命题成立的(形式化意义上的)“原因”,命题成立是公理系统里一坨使然,非要说“原因”的话可以说是公理系统,而不是另一个(可以用来推出它的)命题,因为命题的真值是命题本身的属性。

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