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大误 · 灭霸能够拆散多少对情侣?

图片:《复仇者联盟 3》

武辰,概率论。

在《复仇者联盟3》电影中,灭霸随机让世界上一半的人消失。假设某个星球生活着100对情侣,每个人只深爱着对方。灭霸随机消灭了一半人后,平均剩下多少对情侣?

我们可以先考虑极端情况,这样方便大家理解:最坏的情况是一对情侣也不剩(即每对情侣死一个人,剩下100个人都是寡夫或者寡妇);最好的情况是还剩下50对情侣(消失的100个人恰好是50对情侣,相当于殉情了50对情侣)。


但是极端情况毕竟是小概率事件,大多数情况下是只有部分恋人被拆散。

我们自然想到的方法是根据数学期望的一般定义来计算数学期望:

记剩下 i 对完整的情侣的概率是 p_{i},一共有100对情侣,

那么 E(X)=\sum_{i=1}^{100}{ip_{i}} .(这是数学期望的一般定义,也是课本里最常用到的公式。)

首先由之前的分析, i 的范围应该是{0,1,2…50},因为不可能超过50对情侣完整得存活下来。

关键是 p_{i} 应该怎么算?即随机消失了一半人后,剩下 i 对完整情侣的概率是多少?

这个问题确实有些复杂,我不打算在这里给出具体的式子。评论区已有朋友给出了式子,并编程模拟了答案,读者可以参见评论区。


我想提出一个更简单的方法:

我们引入随机变量 X :记剩下有 X 对情侣。

再引入随机变量 X_{i} :若第 i 对情侣最后两人活下来,则记 X_{i}=1 ,否则记 X_{i}=0 。这里 i 的取值范围是从1到100的整数。

一开始的方法是使用了 E(X)=\sum_{i=1}^{n}{ip_{i}} .

事实上,如果使用数学期望的性质,这道题将会简单许多。

这个简单解法最核心的地方在于这个关系式: X=X_{1}+X_{2}+…+X_{100}

接着,由数学期望的性质:

E(X)=E(X_{1}+X_{2}+…+X_{100})

=E(X_{1})+E(X_{2})+…+E(X_{100})

由于 X_{i} 地位相同,我们只需计算 E(X_{1}) 即可。

而根据数学期望的性质:

E(X_{1})=1\cdot P(X_{1}=1)+0\cdot P(X_{1}=0)=P(X_{1}=1)

我们只需计算出 P(X_{1}=1) 即可。

这个概率就是第一对情侣活下来的概率。比起第一个方法中要计算多对情侣活下来的概率,计算某一对情侣活下来的概率显然简单得多。

P(X_{1}=1)

=P( 第一对情侣活下来的概率 )

=\frac{C_{198}^{100}}{C_{200}^{100}}

我们要怎么理解这个式子呢?分母是所有情况的总数:200个人随机消失100人,一共有 {C_{200}^{100}} 种可能。要使第一对情侣活下来,则消失的100个人必须在剩下198人中选择才行,分子就是这个意思。

于是我们可以计算出最后的结果:

E(X)

=E(X_{1})+E(X_{2})+…+E(X_{100})

=100(E(X_{1}))

=100\frac{C_{198}^{100}}{C_{200}^{100}} (展开后很多项可以消去,这个计算不复杂)

=100\frac{100\cdot99}{200\cdot199}

\approx24.87

我们可以得出结论:原来的100对情侣经过随机消失一半人的洗礼后,只平均剩下24.87对情侣了。

回到文章的标题:灭霸平均拆散了多少对情侣?我们已经分析出平均只剩下25对完整的情侣,那么拆散的情侣数是不是75对呢?答案还没有那么简单。如果情侣双双消失,则不算作“阴阳相隔”。我们可以这样分析:剩下100个人,平均有25对情侣,也就是说50个人没有被拆散。另外50个人成了“寡夫”或“寡妇”,于是灭霸平均拆散了50对情侣。

也就是说,100对情侣中,最后平均有25对情侣活了下来,25对情侣“殉情”,另外50对情侣阴阳相隔。


我们可以一般化这个问题:如果原来有 n 对情侣,随机消失一半人后,则期望剩下约 \frac{n}{4} 对情侣。

更加一般地:如果这个星球存在另外 m 个单身人士,那么平均健在的情侣对数会改变吗?如果丧偶的情侣有概率 p 与单身狗结成新的情侣,那么结果又会变成如何呢?你可能会觉得这些问题有些无聊,但是事实上这类问题是常见的离散数学问题,而离散数学的应用非常广泛,计算机科学中的算法与优化问题就离不开离散数学。

对于第一个问题,我不加证明地给出结论:如果这个星球存在单身人士,那么平均双双活着的情侣的对数不会改变。我们假设地球有70亿人,其中有12亿对情侣。随机消失一半人后,则期望约剩下3亿对情侣。灭霸的一个响指,很有可能拆散了一半的情侣。


一个新的脑洞:在一个星球中快乐地生活着n对男女情侣,没有单身狗。假如灭霸是一个换妻狂魔,他不打算杀人,而是把所有男人凑在一起,然后把每个男人随机分配给一位女性。这样就组成新的n对男女情侣。那么问题来了:平均有多少对情侣是原配?

这个问题的答案和这篇文章的答案有异曲同工之处,答案在这个链接:

武辰:灭霸能够拆散多少对情侣?(2)——假如灭霸是一个换妻狂魔

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