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有哪些有趣的概率问题?

图片:TymonOziemblewski / CCO

张翼腾,复旦大学数学系

风险投资陷阱:做的每一笔投资都是正收益的,但是最后几乎会变得一无所有。

在进行投资或者购买股票的时候,预期收益是一个非常重要的参考。当今越来越多的人接受概率的观点,知道虽然买彩票或者赌博有可能暴富,但是因为从期望角度而言每买一张彩票或者是下一个赌注都是亏损的,所以从理性角度不应该进行这一笔交易。

但是收益为正的投资一定是理性的么?

我们设想有这样一种风险投资:如果当前的的资产为 S 的话,下一个单位时间的资产 50%的概率变为原来的 0.9 倍,50%的概率变成原来的 1.11 倍。问题是:持续进行这样的投资是否是理性的。

经过简单的计算可以得到,经过一个单位时间后,资产的数学期望是

,这样预期收益为

,也就是说,该投资单位时间的期望收益率为 0.5%。

也许看到这里你会觉得,不断进行这样的投资是无比理性的,看起来每一笔投资都无比的乐观。但是事实上,如果一个人不断进行这样的投资,他几乎会满盘皆输。

我们用数学语言来描述这个问题:如果最初的资产是

个单位时间后的资产

倍,

之间是独立的,有 50%的概率为 0.11,50%的概率为 -0.1。那么

由于独立性,

。因此

,也就是说理论上投资期望收益是正无穷。

但是

有 50%的概率为

,50%的概率为

,所以

。根据强大数定律,

,也就是说

,即几乎可以肯定不断进行这样的投资会血本无归。

到这里读者可能会产生困惑,明明期望是正无穷为何几乎血本无归呢?这是因为尽管

趋于零,但是

趋于正无穷,就是说可能存在

很大很大,当然这种事情发生的概率非常非常小。 结果导致很少的人赚很多的钱,但是绝大部分人血本无归。

为了验证这一观点,我使用蒙特卡洛方法进行了数值上的模拟。我一共模拟了一万个投资者,初始资产都为 1,经历了 300 个单位时间。模拟的结果如下:

每一点代表了对应时间一个投资者的资产。我们可以看到,随着时间的推进,越来越多的投资者的资产越来越少,但是与此同时,极少数投资者获得了惊人的利润。也就是说,虽然社会总资产看起来是不断增加的,但是背后隐藏的是社会上绝大部分的资产会掌握在极少数人的手里,和绝大部分人会血本无归。

这就是风险投资中的陷阱:看上去无比乐观的投资却屡屡亏损,明明理论上投资的期望收益是正无穷,但是市场上几乎没有真正赚钱的投资者。

所以在赌场中,即使是一个赌神,能够做到每次赌博的期望收益都是正的(这几乎不可能实现),如果他赌性很大(每次都压很多的钱,基本全压)的话,到头来也基本上血本无归,真正能够通过赌博赚钱的人是及其稀有的。

凯利公式

评论区 @Zhang Wang 提到了凯利公式,我也挺感兴趣,下面我就来继续讨论每次投资的时候应该投资当前总资产的最优比例(仓位)

下面我们对普遍情况进行讨论, 收益率

服从某种分布并且满足

,那么如果我们每次投资选择的仓位为

的话,实际收益率变为

,根据之前的讨论我们知道,

,根据强大数定律

,也就是说平均收益率几乎可以肯定收敛于

,所以最优投资方案应该满足

,令

如果

的话,

关于

单调下降,所以

,也就是说,在期望为负的投资中,最优选择是一分钱都不投资。

如果

的话,

,由于

是上凸函数,如果

,说明

,说明此时的最优选择是仓位拉满。

如果

,那么最优选择满足

如果进行线性近似的话,

,也即

对于最简单的情况,

服从两点分布,

表示以概率 p 收益率为

表示以概率

收益率为

,其中

分别表示挣钱和亏损的情况。

那么根据之前的分析,投资有意义的充要条件为

,在这种情况下,如果

,此时仓位拉满。

否则,最优仓位满足

,化简得到

。这就是投资中的凯利公式。

当然可以直接计算

,如果

,那么停止投资;如果

,那么投资拉满;如果

,那么每次投资总资产的

那么对于上文中提到的具体投资问题,


在这个问题下 @横砚等 268 人 提到了这个问题:

假设有一个游戏,人物的攻击力为 0~10,怪物的生命值为 10,不考虑防御、闪避、命中率等因素,那我平均攻击几次可以杀死一个怪物?

@cyb 酱 给出了用递推解决了这个问题。我用直接计算的方式来计算这个概率。

我们把这个问题数学化,

是独立同分布随机事件,代表人物每一次攻击造成的伤害,怪物的血量是 M ,那么需要攻击的次数

。求问:

因为

取值为正整数,所以

。在这道题中,

分为两种情况:

第一种情况是人攻击造成的伤害是连续的,也就是说是

之间的均匀分布(

)。

另一种情况是人攻击造成的伤害是离散的,也就是说是

上的均匀分布。

第一种情况计算

显然是一个几何概型,对于

时,总样区域对应着

维的边长为 M 的立方体,而使得不等式成立的区域是一个

维的锥体(二维时对应着直角三角形,三维时对应着三棱锥),体积为

,因此

第二种情况稍微复杂一点,计算

对应着一个古典概型,总事件数显然是

。我们可以把

对应的事件拆分成

个子互斥事件:

根据组合知识,

对应的事件数目为:

。所以

。对应

的结果为:2.59374246。

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