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两架飞机分别以反方向沿赤道飞一圈后,飞机上的时间一样吗?

dmncwndrlch / CC0

两架飞机分别自西向东与自东向西沿赤道以同样的速度与高度绕地球飞一圈,则这两架飞机时间一样吗?

鱼刺,I was so naive!

如果考虑相对论效应。那么结论是很明确的:不一样。

不仅两艘飞机的时间不一样,他们跟地面上的时间也不一样。当然,我们要明确这里说的时间是固有时,也即飞机上或地面上的时钟各自的时间。

早在 1971 年就有人做过实验验证了:Hafele–Keating experiment。实验结果发表在了 Science 上[1]

截图来自霍金的「果壳里的宇宙」,图片质量比较差,网上找不到,于是手机直接拍了书,见谅。虚线框是结论。

实验内容就跟题主描述的一样了。霍金在他的科普书果壳里的宇宙也简要的介绍了这个实验:两架飞机分别向东西方向做环球飞行,飞机上携带精确的铯原子钟,当飞行结束后把原子钟的结果跟地面上「美国海军实验室」的原子钟做对比,发现向东飞的原子钟测量的时间较短,而向西飞的原子钟测量的时间较长。

具体结果如下表:

相比于地面上原子钟的测量结果,向东飞的原子钟慢了 59 纳秒,而向西飞的原子钟快了 273 纳秒。实验结果跟理论计算符合的还可以。

上面的表还可以看出,理论预测的结果包含两部分,狭义相对论和广义相对论都有贡献。那么简要的介绍下这些数值是怎么算出来的。

狭义相对论:

狭义相对论指出运动的时钟要变慢。变慢的比例为 ,在低速 () 的情况下,这个比例近似为 ,很接近 1。

先来看地面上的时钟。由于地球是在自转的,那么地面上的时钟也有钟慢效应。假设时钟处在赤道上,考虑地球的半径为  ,角速度为,那么沿地轴看去,赤道上的速度为 ,造成的钟慢因子为 。对于飞行的时钟,假设其相对于地面的速度为 ,那么其总速度为 。由此带来的钟慢效应因子为 。这样就能够算出飞行时钟  相比于地面上的时钟  的时间差:

由于地球自转为自西向东,那么向东飞的 ,上式的时间差为负,表现为时间减少;向西飞的 ,当速率小于某一值的时候  上式可以为正,即时间增加。

广义相对论:

再来考虑广义相对论。广义相对论对时间的改变是通过引力场作用来体现的。其造成的时间变化正比于时钟的引力势。如果飞机的高度为 h,地面上的重力加速度为 g,则引力势差为 。上式(1)则可以修改为:

其中 项即为广义相对论的修正,俗称“引力红移“,造成时钟加快。

注意,广义相对论效应跟速度的方向是没有关系的,因此对于相同飞行高度的时钟,其带来的影响是一样的。

对于典型的商用飞机飞行速度和飞行高度,广义相对论和狭义相对论带来的影响是同数量级的,这一点在上面的表里有体现。另外, 项的数值一般小于  的数值「即 ,显然飞机的速度很难达到这个临界值」,因此当向西飞  时,广相和狭相的贡献都是正的,总体上表现为时间增加「钟快」;而当向东飞  时,广相贡献为正,狭相贡献为负,总体效果可正可负,取决于具体速度和高度了。

下面的图给出了不同飞行速度和高度的时间差异。比如在 20km 高度飞行,西飞总是钟快,而东飞则在低速时钟快,高速时钟慢。黑色的点为实验点,跟理论预期一致。

时钟相对论效应,图片来自文献[1].

关于实验的具体细节,有必要再补充吧。

以上。