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数学中,有哪些方程,思想让你感觉到了美感?

数学中,有哪些方程和思想让你体会到了美感?

知乎用户,啥都不懂,手无缚鸡之力,一无是处

考虑一个流形上的动力系统,比如球面上的向量场:

我们想问:空间(流形)本身的结构,到底在多大程度上限制了动力系统的行为?或者说,我们要回答,是不是:一个空间上,动力系统的行为是可以被人们随意设定、不受空间本身约束的?

答案是:否。

庞加莱 - 霍普夫(Poincare-Hopf)定理指出:空间本身的拓扑结构,就已经对定义在其上的动力系统可能的运动轨线作出了限制。在我的知识范围内,我始终认为这是我见过的最美妙的定理。

虽然,我平时根本用不到它,我跟它的关系远远不及随机数学、最优化理论那样亲密,但它带给我很大、非常大的美学享受,胜于其它任何一个数学定理。

比如空间的欧拉示性数是,空间中流淌着一个长这个样子的动力系统:

所有在上的箭头指向,系统中间有一个,我现在想把这个源去掉,可以吗?

这时候,Poincare-Hopf 定理就会在你耳边回响、低语:“可以啊,凡人,但你需要保证指数和依然为 。现在空间中只有一个源,满足我的条件,但你不论怎么调整,都必须始终服从我的意志。”

我:“神啊,能再给我些启示吗?”

神回答道:“看吧:”

我:“哦,神啊,我懂了,系统的运动轨迹必须满足您的要求,只要按照上图给予的启示,我就可以从心所欲不逾矩了,比如改成这样就可以,是吧?”

您看,这样的指数和还是为 (两个指数,一个指数),这样就是可以的,对吗?

神:“孺子可教也啊,哈哈哈哈哈嗝”。

References(启示录):

【1】Andreu Mas-Colell,The Theory of General Economic Equilibrium: A Differentiable Approach

【2】J.W.Milnor,Topology from the Differentiable Viewpoint

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神侍者:“我们的面具也要满足神的意志”