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为什么人类想象不出四维的空间?

Pixabay / CC0

这个问题真是个超级巨坑,不仅是对于问的人,也是对于回答的人。要把这个问题答对,不仅仅需要数学方面的知识,也需要生物学和心理学方面的知识,但是问和答的人常常忽略了最重要的物理学。

我们从视觉谈起,它是一切想象力的基础。人类的视觉有三个重要的因素构成即可见光眼睛大脑。第一个要素属于物理学,而后两个要素属于生物学。可见光属于电磁波,满足大名鼎鼎的 Maxwell 方程组。

一个常用的展示电磁波的图像是

人类的视觉只和电场  有关和磁场  没什么关系。电场  在真空中传播的方程是

读者并不需要会解这个二阶双曲型偏微分方程,因为人眼看到的物体尺寸  远远大于可见光的波长 ,所以使用几何光学就能达到很好近似了。所谓的几何光学就是初中和高中所学的欧几里德几何来研究光学,我们并不需要电场  解的确切表达式,例如像平面波解  之类的,只需要用直线来代替它。几何光学相当简单,只要你不是辍学少年,一定学过反射定律  (入射角等于反射角)和折射定律 。这些简单的定律可以归纳为著名的费马最小时间原理。如果读者精通上面的 pde,也可以用 maxwell 方程来分析光的性质,关于怎样用 maxwell 方程,可以参考任何一本电动力学的书,这里不赘述。

人眼的大部分功能类似一个高质量的 35mm 照相机,能够自动调节亮度的差异,可以自动对焦于感兴趣的物体,还可以通过眼动追踪移动物体,还带有通过眼泪和眨眼清洁眼球表面的功能等等。

光线的聚焦主要由角膜来完成。角膜背后是折射率为 1.33 的水,水之后是一个具有非常有趣结构的晶状体。晶状体具有洋葱那样一层一层的结构,所不同的是它完全透明的,中间部分的折射率是 1.40,外面部分的折射率是 1.38。角膜的形状不是球形的。一个球形的透镜具有一定数量的像差。角膜的边缘部分要比球面「扁平一下」,正是由于这种方式,使得角膜的球面像差要比我们放一个球面透镜的像差要小一些。当我们注视较近或较远的物体时,晶状体通过张紧或放松来改变焦距来适应不同的距离。调节光线总量的是虹膜。虹膜的颜色就是我们所谓的眼睛都颜色。当光量增加或减少时,虹膜就分别向里或向外移动。

眼睛的背面是视网膜,这里拥有特化的、将光能转化为神经活动的光感受器。视网膜可以类比于照相机的胶卷(如果不知道什么样,可以去博物馆),但是不仅仅如此,它还是大脑的一部分。视网膜神经元的轴突汇聚成视神经,它们以动作电位的方式将视觉信息传送至数个履行各种功能的大脑结构区域。

可见光与神经信号之间的转换发生在视网膜背后的 1.25 亿个光感受器中。每个感受器由 4 个部分组成:外段、内段、胞体和突触终末。外段含有大量膜盘。膜盘上对光敏感的视色素对光进行吸收,然后触发光感受器膜电位的变化。根据外段形状的不同,光感受器可以分为视杆光感受器和视锥光感受器。视杆光感受器具有长长的筒状外段,其中含有大量膜盘。视锥光感受器则拥有一个稍短的、锥形外段,其中含有的膜盘数也相应地少些。

视杆和视锥结构的不同导致其功能上的重大区别。比如,视杆内膜盘数量较多而且视色素密度较高,使它的光敏感性比视锥高 1000 倍。事实上,在夜间照明或暗示情况下,只有视杆在视觉中起作用。相反地,在日间照明或明视情况下,主要由视锥起作用。另外一个不同的是视杆只有一种视色素,而视锥有三种不同的视色素,这使得颜色的识别是由视锥来完成的,和视杆无关。这一点很容易验证,在夜晚暗光环境下,很难看清楚衣服的颜色。

人眼所感知的颜色很大程度上取决于蓝(S)、绿(M)、红(L)三种视锥对于视网膜信号的相对贡献。大约 200 年前,英国物理学家托马斯.杨曾预言,我们的视觉系统以这种方式实现对颜色的检验。杨在 1802 年指出,彩虹里的每种颜色,包括白光,都可以通过红、绿、蓝光的不同比例的组合得到。他不无道理地设想,在视网膜的每个点上都聚集有三种感受器类型,各自分别对蓝、绿或红光最为敏感。杨的想法得到了颇具影响力的 19 世纪生理学家 Hermann Von Helmholtz 的支持,这个理论叫做 Young-Helmholtz 三原色理论。

基于这个理论,大脑根据 3 种视锥输出之间的比较来确定颜色。当所有的视锥都同样程度地被激活,就像在广谱光照的情况下,我们感觉到「白光」。一种或更多的视色素的缺失会导致各种形式的色盲。

读者也许对光如何转换为神经信号感兴趣,这全赖上文经常提到的视色素。这里以视杆里的色素,视紫红质(rhodopsin)为例。视紫红质由视蛋白和一个视黄醛构成。视蛋白本身不和光发生作用,和光发生反应的是视黄醛,它是维生素 A 的小分子衍射物。它可以从蛋白质(视紫红质)中分离出来。

视黄醛的化学结构如上图所示。沿着它的边链有一连串交替出现的双键。这一连串交替的双键叫共轭双键,一个双键意味着它有一个额外的电子,而这个电子很容易向左或向右移动。当光线击中这个分子时,每个双键的电子都向同一个方向移过一步。整个键中所有电子的移动,好像一连串多米诺牌倒下来一样。虽然每个电子只移动很小一段距离,但是其总的效应就好像一个电子从一端走到另外一端一样。这好像和一个电子通过整个距离作来回运动一样。由于很容易使电子来回运动,视黄醛就非常强烈地吸收光。

对光的吸收使视黄醛的构象产生变化(如上图所示),并激活视蛋白。这个过程称为漂白。视紫红质的漂白刺激了膜盘上的一个称为传导蛋白的 G 蛋白,继而激活了效应器蛋白磷酸二酯酶(PDE)。PDE 使通常在暗中存在的视杆胞浆内的 cGMP 分解。cGMP 的减少使 Na+ 通道关闭,膜超极化。整个过程如下图所示。

双眼产生的神经信号顺着视神经传递。视神经(optic nerve)在视交叉(optic chiasm)处交合,来自视网膜鼻侧的轴突交叉至对侧。来到对侧的轴突离开视交叉汇合形成视束(optic tract),视束的小部分轴突离开视束,与下丘脑神经元的突触形成连接,另有 10% 左右的轴突穿过丘脑到达中脑。视束中的大部分轴突其实是终止于外侧膝状体核(lateral geniculate nucleus),外侧膝状体核的神经元轴突通过视放射纤维(optic radiation)投射到大脑后侧的初级视觉皮层。

到达初级视觉皮层的输入经过初级视觉皮层处理后有两个不同的路径可以选择,一个是沿着大脑背侧通路传递到顶叶,另外一个是沿着腹侧通路传递到颞叶。大脑有一半的皮层参与了视觉过程。

人类其实不能直接看到三维空间,立体感是在大脑里合成的。大脑是如何做到的呢?大脑把左眼和右眼看到的图像合成到一起,利用双眼图像之间的差异感知深度的信息。也就是说大脑直接从视网膜得到信息是二维的,在没有经过初级视皮层处理前,大脑是不知道深度信息。下图展示了大脑的视觉系统是如何识别物体的:

我们在此处结束视觉的生理学过程。相信看到这里的读者都会觉得视觉的过程真是太复杂了!如果读者对视觉有更深入的兴趣,有一本「通俗易懂、插图精美」的厚达 2000 多页的图书推荐给大家,那就是《Principles of Neural Science》。

没有耐心的读者也许会心存疑虑,讲视觉的原理有什么用呢? 之所以要讲视觉的原理,是为了说明我们看到什么,不仅仅是个数学问题和物理问题, 也是个生理学问题。我们的大脑才有最终解释权。

我们帮读者稍微总结一下上面的内容。麦氏方程组确定了可见光的物理规律,即可见光如何传播、如何与物质作用,几何光学近似引入了欧式几何学(三维欧式空间),光线携带物体的信息成像到视网膜上(二维图像),视网膜里的视色素把光转化为电信号(视黄醛吸收光激活视蛋白,调节 Na+ 离子浓度,使膜超极化) ,双眼视网膜的电信号通过视神经传递给大脑皮层,大脑把电信号处理并转换为人类能理解的,也就是通常意义上我们看到的感官世界(?)。

我们知道空间、维度之类的概念是几何学里的概念,现在要问的是我们眼睛看到的世界到底满足哪种几何学?

先提示一下,我们眼睛所见的世界肯定不满足欧式几何。有一个简单的验证方法,读者可以站在无人的笔直的公路中央,向远方望去,会发现公路的两个边界在远处几乎交汇在一起。但是如果你想开车追上那个交点,你会发现永远也做不到,那个点永远在你视野的正前方。你会发现,眼睛和双腿的感受是不一致的,某个景点看起来很近,走过去要你老命,这种体验经常发生在我们日常的生活中。所以我们眼睛看到的感官世界其实是一种非欧几何的世界。

欧式几何和非欧几何区别在于是否要满足第五公设即平行线公设。你一定听说过这个公设,它就是过直线外一点,有且仅有一条直线和已知直线平行或者等价于三角形内角和等于 180 度之类的。我们眼睛里看到的两条直线几乎都会交于一点,这个点通常是无穷远点。我们还能看见远方的地平线,但实际上地平线也是不能到达的直线。这种我们睁开眼睛就能看见、大脑感觉非常熟悉和非常真实的几何学叫做射影几何学。而从小在学校学习、被老师灌输的那种空间就是有长、宽、高三个垂直方向的几何学叫做欧式几何学,显然双腿比双眼更能体会到什么才是欧式几何学!

这也可以解释为什么「几何学」这个词的古希腊语来源 γεωμετρια 的原意十分的接地气,它叫「测地术」,由 yεα(土地)和μετρειv(测量)二者合成,指土地的测量。中国古代虽然没有发展出公理化的欧式几何学理论,但是像《九章算术》之类的数学专著,除了「鸡有几只、兔有几只」这样的问题之外(盈不足),开篇就是「方田」,教人怎样计算各种形状的土地面积。不论是古希腊人还是古中国人,都知道人眼所见的东西是靠不住的,几何学的知识不是人一生下来就会的,而是需要后天学习的。几何学不是古代的哲学家们拍脑袋想出来的,而是苏美尔、埃及、印度河和黄河地区种田的农夫世世代代的经验总结出来的。

射影几何相比于欧式几何,多了无穷远点和无穷远直线,正像我们看见公路的边界会在远方相交和看见远处的地平线。加了无穷远点的直线叫拓广直线或者射影仿射直线,加了无穷远直线的平面叫拓广平面或射影仿射平面。在射影几何里,点、直线是不变的,也就是说随着视角变化,你看到的还是点、直线,但是像圆、正方形这类的图形不是的,读者可以自己验证下。

到这里其实已经可以回答题主的问题了。读者会发现大脑连三维欧式空间都想不出来,如果不信的话,可以在脑子里面尝试画一下,完全按照欧式空间的法则。因为人类最终看到的都是射影几何里的图像,你在脑子里画的图形都是射影几何里的图形。但是许多读者会觉得自己相当了解三维空间,十分相信自己的视觉。正像这个问题下的许多答主一样,试图让读者相信的,看看这就是空间的样子!四维空间应该这么画!很多人都想要直观地理解空间,直观的另一个代名词就是误导。除非读者勤于思考,善于分析,否则不会得到正确的答案。

我们上面说过,几何学不是一种与生俱来的本能,而是后天学习得来的知识。人从婴儿时代开始,大脑就试图把视觉和其它感觉联系在一起,随着经验的增长,这种联系越发紧密,大脑一旦熟悉了这种联系,就会把这种联系作为常识,便不再勤加思考。这种常识时常禁锢了我们的思维!其实并没有什么东西限制人类的想象力!大脑可以通过逻辑,通过类比,通过推理来想象和理解任何一种事物,其中也包括空间。今天的数学家们已经发展出了欧式几何、射影几何、微分几何、代数几何和非交换几何,他们不受任何空间维度的拘束或限制,他们甚至研究无穷维的空间。这一切全靠人类自身非凡大脑的创造力!

(友情提示:下方有公式狂魔出没!)

上面的图是前文的总结。欧式几何学是大家非常熟悉的通常意义上的空间几何(这里暂限定为 3 维),射影几何学是眼睛和大脑主观上感受到的几何学(大多数人熟悉又陌生)。Maxwell 方程一般的读者了解较少,它将是接下来的主角。

Maxwell 方程代表的电磁相互作用,是一切感官的物理学基础。仅以人类的感官为例,视觉、听觉、嗅觉、运动觉等等所有接受到的外界信息,只有转化为神经元的电位信号才能为大脑知道。眼睛和大脑处理视觉的生理学过程异常的复杂,但是所有这一切过程的物理学基本规律却相当地简单!

理论物理学家喜欢用作用量来描述最基本的物理学规律。为了探索更高维度的空间,我们必须先了解我们所生存的三维空间。

开头已经写下了三维空间下的 Maxwell 方程组,这里用更现代更时髦的语言,把时间也当作一个维度,不过时间和空间还是有些区别,为了区别它们,把时间坐标乘上虚数  ,这样就可以把时间维度完全当作空间维度来处理。下面的内容,答者有时候会用空间,有时候会用时空,读者需要注意时空比空间多一个时间维,希望不要弄混了!像上面可见光和视黄醛分子里的电子的电磁相互作用规律就是 ,-e 表示电子带 1 个基本电荷单位 e 的电量,负号表示电子带的是负电,整个「原谅色」标记的部分像一个矢量 ,不过它也确实是矢量,这个后面再说。表示光子自身的作用量是 。表示电子的作用量是 。把这三项和而为一,就是

这就是所有已知生物感知这个美妙世界的共同的物理学基础规律。小到简单的原核生物、病毒(如果算生命的话),大到蓝鲸,包括曾经存在这个地球已经灭绝的霸主恐龙,都是直接或间接通过电磁相互作用来和这个世界交流。

如果人类真的能在四维空间用眼睛看到什么些稀奇古怪的玩意儿,那么这个拉格朗日量在五维时空同样起作用。看起来好像是如此,只要把时空维度换成五维  就行了!但是魔鬼隐藏在细节之中,这个作用量还不是最根本的物理学规律。目前已知的最根本的物理学规律是标准模型

这是关于已发现的物质世界的物理学规律最为浓缩、最为精炼的形式! 表面上没有上面的光子和电子的拉氏量  的内容。要找到  里的东西,你需要在下面这张经常用来劝退人的  变种图里仔细寻找。答主已经好心帮读者用蓝色墨水笔标出来,所以大家不要费力气找了!

标准模型的拉氏量  里的大  代表左手的费米子

大  代表右手的费米子。读者会发现  和  明显的不一样。这体现了我们世界的一种不对称性,这种不对称是两个年轻的中国人发现的。答者贴一下两人的图,你们一看就知道是谁了。

我们的三维空间有一种特性是四维空间所没有的,那就是手征性。读者只要看下自己的双手就会明白,左右手是不同的,是互为镜像的。读者可以找块大的镜子,看看左手在镜子里的像是不是和你的右手一样?镜子里的世界和外部世界相比左右互换了。物理学家们相信物理学规律是左右对称的,从来没有怀疑过左右不对称的可能性,直到那两个年轻人出现。

让绝大多数物理学家翻车的是大  列矩阵里的 ,它表示的是一种中性粒子叫中微子。中微子不带电,所以不和光子也就是电磁场发生相互作用。因此,尽管有数以亿计的中微子穿过我们的身体,我们感觉不到它的存在。中微子被发现的动机是物理学家们在检查核反应后所有反应产物的能量后,总是少了一部分能量。这让物理学家比较郁闷,部分物理学家想要放弃能量守恒定律,他们中的代表人物是大名鼎鼎的玻尔。不过也有物理学家坚定的相信能量守恒定律,「上帝的教鞭」泡利就是这样的人物。泡利认为,有一种中性的微小粒子带走了能量,后来果然证明了泡利的推断。

稍稍有些跑题,我们回归正题。手征性体现在标准模型里,就是费米子要像脑裂人一样,分别按左右两套不同的规则运行。读者会在  发现有  (左边的一半)和  (右边的一半)。 和  里的  是各种费米子场的简写,在微观世界里,粒子不像宏观世界那么有个性,它们的作用量其实都是 。细心的读者会发现各种场下标会带个 L 或 R,这个 L 或 R 表示其是左手或是右手。左右的定义依赖于一个矩阵 ,它的定义是 (左右费米子定义)。 里有一个四维时空独有的张量 ,某些读者对它的空间分量  更熟悉,三维空间的矢量运算叉乘  就含有 

我们可以看看费米子的左右两套规则是如何运行的?

读者会发现左手费米子的规则要远比右手费米子的规则复杂一些。左手电子和左手的中微子组成了个列矩阵,叫做同位旋二重态。我们可以打开左手的公式

定义 , 

左手的公式变为

读者会从左手费米子的规则里发现 ,可以和电磁相互作用比较一下 ,读者可以很自然地猜测 ,但是还是稍稍有些不同, 只是电子  的一半,我们讲过标准模型的费米子像脑裂人一般。那么能在右手费米子的规则里能发现另外一半吗?

相信读者已经找到答案!对于电磁相互作用来讲,左右两套规则是相同的。但是还有些被红绿棕三色标记的作用项在右手的公式里找不到对应的项。这表示这些相互作用是左右不对称的。同时读者也会发现造物主是如何设计世界。费米子和玻色子的相互作用都是这种形式  代表某种荷, 和  代表两种费米子场(可能是相同种类),  是玻色子,比如光子。 代表费米子作为荷  源产生的四维时空的流  ,对于电荷, 表示电荷守恒律。

如果将左手和右手的费米子规则合而为一,得到下面公式

电子  除了可以和光子  相互作用外,还可以  、 发生关系。而中微子  没有和  发生关系的项,这和中微子不带电是一致的。 、 叫做中间玻色子是传播弱力的媒介子。只有左手的中微子  和三种中间玻色子发生关系,这可以解释 1956 年两位年轻人的发现,弱相互作用中宇称是不守恒的。

细心的读者会发现, 缺少  里电子的质量项  。电子当然是有质量的,隐藏在  里的汤川项里  。要想得到 m ,真空需要处于特殊的态 

真空是系统能量最低的态,这个真空的期望值  不等于 0。上面那个劝退人的图就是  在这个真空态下的展开式。

标准模型也告诉了我们,为什么绝大多数生物选用光子作为信息传递的媒介。标准模型中有三种矢量玻色子  、 和  以及一种标量玻色子 。费米子的特性是同一个态只能由一个费米子占据,而玻色子没有这种限制。正是这种差异导致所有的物质(不是马克思主义哲学下的物质)都是由费米子组成的,费米子是刚性的来源,也是立体图形的现实来源;玻色子更适合传递力和携带信息。 和  叫非阿贝尓规范场,也叫 yang-mills 场。yang 就是上面的年轻人中的一个,现在已经是老杨了。奠定老杨在物理学里江湖地位的就是提出了非阿贝尓规范场,不过老杨没有变得更牛逼,而只是非常的牛逼的原因,和那个标量玻色子  有关系。这些矢量玻色子场和电子一样,没有代表场的质量的平方项,要获得质量要靠标量玻色子 ,它的外号叫「上帝粒子」!和电子的情况类似,当真空态是  时,从  项里能得到场的平方项。如下

中间玻色子  是有质量的,而上式没有  和  这样的项,这说明光子和胶子都没有质量。上述费米子场和矢量玻色子场获得质量的过程被叫做希格斯机制。正像死肥宅们几乎跑不动路,中间玻色子们只能传播很短的距离,显然不太适合做信息的携带者。

那么只剩下光子和胶子,我们可以先看看它们有什么不同?

首先胶子有 8 个,而光子只有一个。其次,胶子的场强里有这样的项 ,这表示胶子可以和自己发生作用。和光子类似,胶子也能和费米子发生相互作用,不过它不能和轻子发生相互作用,而是只和夸克发生相互作用。

观察上式,读者会发现夸克的规则比轻子更复杂一些。不过夸克在我们的世界不能单独的存在。而是囚禁在重子和介子这些强子中。组成原子核的质子和中子是由三个夸克组成的。人类从未观察到过单独的夸克。单夸克的一个特性是带有分数个基本电荷,比如上夸克 u 带 2/3 个基本电量,下夸克带 -1/3 个基本电量。夸克还携带一种叫「色」的荷,它的流是 。所有已经发现的由夸克组成的强子都是无“色”的。之所以大自然禁止夸克单独存在,是因为传播色力的胶子之间的自相互作用强过了夸克和胶子的相互作用。

标准模型里还有些造物主的恶趣味。轻子和夸克皆有三代 ,就电磁相互作用来说,我们还能得到额外的两组一模一样的基础电磁学规律,不同的仅是费米子的质量不同,谬子  是电子 e 的肥宅版本,陶子  则是电子的死肥皂版本,而且搞笑的是陶子(轻子)比质子 (重子) 还重。轻子必须有 3 代,也和四维张量  有关系。  可以和非阿贝尓规范场  组成 ,这种量出现在量子力学控制的单圈图过程中,要想消除这种量,轻子和夸克必须得是三代。

通过上面的分析,我们可以知道保证人类及已知生命存在的四维时空的物理学基本规律,在五维时空是不成立的。所以那些告诉你到了五维时空或者四维空间将要看到什么现象的科普是不正确的。在很多科普作品中,作者常常为了迎合读者的口味(说大白话就是不愿意读者费脑子),直接用射影几何里面的关系,来代替欧式空间的关系。人类的大脑在其中经常推波助澜,因为它符合常识,符合大脑的预期。

而这些作者常常没有意识到自己其实已经掉进了陷阱里,射影几何学是大脑最终呈现给我们的世界所遵循的几何学。但是有些时候,如果光所在的空间不是欧式空间,而是弯曲的话,就会有匪夷所思的事情发生,比如你可以不借助镜子就看到了自己的后背。在靠近黑洞的不稳定轨道上,有光子轨道组成的球面叫光球。如果有人恰好穿过光球,比如星际穿越里的库伯,他会看到自己的上下左右前后部分同时出现在扭曲的图像里,就好像看一副全息图一样。这个时候大脑想把看到图像按照射影几何的方式处理时,就会被黑洞给搞懵逼。

目前为止,还没有任何实验证据支持存在高于三维的物理学意义上的空间。不过物理学家们还是发展了一系列的高维度理论。许多人听说过的超弦理论就是一个十维时空的物理学理论,或者说有九个空间维度和一个时间维度的理论。